Расчет альфа-стирлинга (осторожно, матан!)

Помогите плз с расчетом. Имеем стирлинг



R-радиус от центра вала до крепления шатунов
X-расстояние отточки крепления шатунов до цилиндра
a,b - эффективная длина и ширина цилиндра
с - длина поршня
Dp - длина шатуна
Vse - рабочий объем цилиндра в максимуме
Vdc - мертвый объем зоны охлаждения
Vr - объем регенератора
угол альфа - Угол между текущим положением креплений шатунов и положением соотв. нижней мертвой точки (макс объема охладителя)

На рисунке я перепутал цилиндр сжатия и расширения, формула расчета сейчас будет касаться цилиндра сжатия

Моментальный объем зоны сжатия будет такой


Вывод этой формулы я задолбаюсь набирать ))) Вкратце: Рабочий объем цилиндра - моментальный объем, вытесненный поршнем + мертвый объем зоны охлаждения.

Соответственно, моментальный объем зоны расширения (Vme) будет по тем же параметрам цилиндра расширения, только синус меняется на минус косинус и косинус на минус синус (сдвиг -90 градусов).

Полный моментальный внутренний объем системы будет


Далее, исходя из


И идеального регенератора


Получаем формулу моментального давления в системе


При исходных данных цилиндров:

Код:

Радиус   0,4   м
Высота   0,4   м
Длина шатуна   0,45   м
Длина поршня   0,1   м
От центра вала до цилиндра   0,3   м
Мертвый объем   0,02   м^3


И прочих

Код:


Радиус вала   0,15 м
Объем R   0,08 m^3
Масса газа   0,35 кг
Мол масса газа   0,02898
Терм константа   8,314
Мин. температура   295 К
Макс. температура   473 К


Получаем графики состояния системы в зависимости от поворота угла вала.

Объем системы (куб м)


PV-график


А теперь внимание вопрос! А как тут вычислить полезную работу (за 1 цикл 360 градусов)?

Мда. Задашь вопрос вслух, найдется решение в википедии )))



Получается полезная работа это работа в фазе расширения минус работа, затраченная на сжатие. Или как?





Он вроде сам сжимается? На что он тратит энергию для своего функционирования кроме там разных трений?

Ну матаном нас не запугаешь

sergeb пишет:
Получается полезная работа это работа в фазе расширения минус работа, затраченная на сжатие. Или как?

Именно так все всегда и происходит! Чтобы что-то купить, надо что-то продать. Чтобы заработать, надо поработать. А как же иначе?
Есть интегралы, есть значения давления в любой момент цикла, подставляете и считайте работу. А там, глядишь, и КПД выскочит.

sergeb пишет:Он вроде сам сжимается?

А вот это вы зря! Сам газ никогда не сожмется, мешают отрицательно заряженные электроны, обволакивающие положительно заряженное ядро атома. Углубляйтесь в квантовую механику Кстати, там очень интересный матан.

Sogokon'A пишет:
вот это вы зря! Сам газ никогда не сожмется, мешают отрицательно заряженные электроны, обволакивающие положительно заряженное ядро атома. Углубляйтесь в квантовую механику Кстати, там очень интересный матан.

Квантовая механика подождет.

Когда газ попадает в зону охладителя он ведь начинает сжиматься под действием понижающейся температуры. И выполняет работу втягивая поршень сжатия.

Или я чето не так понимаю?

sergeb пишет:
Когда газ попадает в зону охладителя он ведь начинает сжиматься под действием понижающейся температуры. И выполняет работу втягивая поршень сжатия.

Все как раз наоборот, работу совершает сжатый и нагретый газ, расширяясь и охлаждаясь при этом. Сжатый газ толкает поршень и закручивает маховик. Маховик накапливает механическую энергию и по инерции "растягивает" газ понижая давление в цилиндре ниже атмосферного. Далее инерция маховика и повышенное внешнее давление толкают поршень и сжимают газ, затрачивая на это часть полученной в предыдущем цикле энергии. Поскольку тепло подводится постоянно, то при следующем сжатии газ накопит больше энергии и сильнее толкнет поршень. И так до тех пор, пока не наступит равновесие между энергией полученной от источника тепла и энергией отобранной у махавика.

Получается, полезная работа - суть площадь вот этой фигуры?

sergeb пишет:Получается, полезная работа - суть площадь вот этой фигуры?

Приятно иметь дело с умным собеседником.
И более того, если эту фигуру обходить по часовой стрелке, то это описание работы теплового двигателя, а если против, то это описание работы тепловых насосов и холодильников. Другими словами, при движении вдоль этой кривой по часовой стрелке, тепловая энергия превращается в механическую, а против - механическая в тепловую.

Тогда есть вопрос о разнице давлений внутри и снаружи.

Вот моя PV диаграмма. Отметка 1 атм пересекает ее почти пополам.

Цикл расширения - T1-T2
Цикл сжатия - T3-T4

Области -А и +А - это там, где мы встречаем сопротивление или содействие атмосферы ходу поршней.



Вопрос состоит в том, как формулу, которая бы грамотно провела отметку 1 атм по графику, где сопротивление и содействие атмосферы компенсировали бы друг друга.

Хотя нет, глупый вопрос. Рабочим поршнем ведь считается только один (в зоне нагрева), так?

Следовательно, нам надо чтобы атмосфера максимально способствовала его движению.

Значит, отметку 1 атм надо разместить в аккурат посредине между точками Т2 и Т4.

Но как это выразить в формуле?

Вас смущает асимметрия кривой относительно начального давления. В этом нет ничего особенного, ведь для того чтобы сжать газ на величину дельтаV нужно приложить большую силу нежели при "растяжении" на то же дельтаV. Именно асимметрия фигуры и отражает этот факт. И ничего не нужно смещать, все на месте.

Чтобы было наглядно - вот PV диаграмма и ход поршней. Красный - поршень в зоне нагрева, синий - поршень сжатия. Движение вниз = увеличнение объема цилиндра.

Т1 - Т2 = цикл расширения, здесь совершается полезная работа. В этой области, если атмосферное давление ниже, то имеем полезную работу. Если выше, то тратим энергию.

Т3-Т4 = цикл сжатия. Здесь запасенная кинетическая энергия толкает второй поршень на сжатие. Если отметка 1атм выше, значит атмосфера способствует сжатию, энергия не тратится. Если ниже, тратится.

Вот то что я "подогнал" кажется оптимальным. Но как это выразить в формулах?

Sogokon'A пишет:Вас смущает асимметрия кривой относительно начального давления. В этом нет ничего особенного, ведь для того чтобы сжать газ на величину дельтаV нужно приложить большую силу нежели при "растяжении" на то же дельтаV. Именно асимметрия фигуры и отражает этот факт. И ничего не нужно смещать, все на месте.

Тогда почему тут не работает?

Эта ситуация реализуется сама в процессе разогрева двигателя и увеличения количества оборотов. Первые рабочие циклы двигателя незамкнутые. На PV диагамме это будет представляться в виде раскручивающеся спиральной кривой, уходящей на повышенное давление и увеличение амплитуды изменения объема.
Но это можно достичь и простым повыщением начального давления в системе.

Извините, а почему вы думаете, что
m/M = сумма PV/RT ?

vx пишет:Извините, а почему вы думаете, что
m/M = сумма PV/RT ?

Это не я думаю, это уравнение Клапейрона или уравнение состояния идеального газа. Физика, 8й класс по моему.

Ох я не любил в школе эту молекулярно-кинетическую теорию.... Физику любил, а конкретно этот раздел ненавидел ))





Ну и дальше подставляем.

Это не уравнение Клапейрона, а допущение об отсутствии гидравлического сопротивления и... как бы это выразиться... допущения об отсутствии интенсивных перетоков газа между условными объемами холодильника, регенератора, нагревателя и скачкообразном изменении температуры при переходе от объема к объему, которые будучи написанными между строк были мной пропущены. Да, методически все верно, хотя я как-то тревожно отношусь к таким шуткам. В свое время это меня остановило на пути расчета конструкций двигателя в которых имеются объемы с разной температурой - стал сам себе усложнять жизнь смотря в сторону численного моделирования. А вы наглядно показали, что можно гораздо проще. Границы применимости правда не ясны. Но все равно - снимаю шляпу.

sergeb пишет:Ох я не любил в школе эту молекулярно-кинетическую теорию....

А теперь придется всю жизнь ею заниматься! Божья кара, однако.

Поскольку у вас матановые мышцы хорошо развиты, и графика на должном уровне, предлагаю оформить этот спонтанный и разрозненный материал в поледовательное и логически завершенное повествование. В качестве экспериментальной проверки и оценки области применимости полученных результатов, можно взять реальные параметры уже построенного Игорем двигателя, или другого, хорошо описанного и обмеренного. В результате получится статья не хуже этой http://sites.google.com/site/yakavoska/articles/charactuds написанной магистрами и академиками.

vx пишет:Это не уравнение Клапейрона, а допущение об отсутствии гидравлического сопротивления и... как бы это выразиться... допущения об отсутствии интенсивных перетоков газа между условными объемами холодильника, регенератора, нагревателя и скачкообразном изменении температуры при переходе от объема к объему, которые будучи написанными между строк были мной пропущены.

Нет, это уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа.
Чувак, расслабься. Ты сам попробуй эти интегралы сосчитать хотя бы для идеального газа. А потом уже и до реального доберемся.

Sogokon'A пишет:предлагаю оформить этот спонтанный и разрозненный материал в поледовательное и логически завершенное повествование.

Оформлю конечно. Сейчас застрял на вычитании одного интеграла из другого (площадь фигуры). Поскольку Mathcad 15 наотрез отказывается брать интеграл


Пришлось находить в маткаде экстремумы функции V(альфа) и делать интерполяцию фрагментов функции P от V от альфа с целью взять потом интеграл (а может того... интеграл по объему, а? гулять так гулять). Работа получилась отрицательная, хотя по графику явно положительная

Короче эта процедура взорвала мой мозг и я решил взять пару дней таймаута.

Кому интересно - расчеты и графики делаю в Mathcad 15, формулы на форум пишу здесь homeschoolmath.net / worksheets /equation_editor.php (пробелы убрать). Там LaTeX транслятор.

Блин, реально тема для дипломной работы по физмату. Но уж очень интересно, хотя стирлинг это всего лишь одна вторая моей задумки.

"Нет, это уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа." - я и не протестую, написано же "методически все правильно".
"Чувак, расслабься. Ты сам попробуй эти интегралы сосчитать хотя бы для идеального газа. А потом уже и до реального доберемся." - не вижу смысла в дискуссии между человеком у которого техническая термодинамика является специальностью и человеком берущим формулы для расчета из википедии и, следовательно, второй раз в жизни их использующим. Я высоко оценил ваш простой, смелый и красивый расчет и не предлагал вам идти в сад поучить предмет.

Относительно ваших рассуждений о содействии или сопротивлении атмосферы движению поршней и существовании некого оптимального давления при котором атмосфера будет нам "помогать" хотелось бы отметить следующее. Работа двигателя против сил внешнего давления равна нулю. Поэтому изменение начального давления цикла может приводить к изменению работы исключительно за счет процессов происходящих внутри двигателя (например, изменению свойств рабочего тела или увеличению перепада давления).

sergeb пишет:
Чувак, расслабься. Ты сам попробуй эти интегралы сосчитать...

Ошибки в формулах и формулировках, идейные и идеологические разногласия, описки и просто ляпы - не повод для публичной смертной казни.

А как будет интересно, если этот "чувак" окажется рецензентом вашей дипломной работы, главным редактором журнала, в котором пожелаете опубликовать свою статью или отцом будущей невесты. Тогда вторая половина вашей задумки может оказаться под большим вопросом.

vx пишет:"Нет, это уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа." - я и не протестую, написано же "методически все правильно".
"Чувак, расслабься. Ты сам попробуй эти интегралы сосчитать хотя бы для идеального газа. А потом уже и до реального доберемся." - не вижу смысла в дискуссии между человеком у которого техническая термодинамика является специальностью и человеком берущим формулы для расчета из википедии и, следовательно, второй раз в жизни их использующим. Я высоко оценил ваш простой, смелый и красивый расчет и не предлагал вам идти в сад поучить предмет.

Вы здесь не дискуссию создаете и полезных мыслей от вас я не вижу, по этому ваша научная подковка мне пока по боку.
Языком чесать вижу мастеров много. Как до дела...

Чем вам не нравится мое уравнение? Для реального газа вводятся дополнительные поправки. И я их введу. Сейчас мне надо в сам процесс вникнуть.

Если вы какой то там член РАН/УАН, я вас поздравляю. Идите в свою академию и чешите языком. Я же тут делом занимаюсь. А нет, так говорите по делу.

Sogokon'A пишет:А как будет интересно, если этот "чувак" окажется рецензентом вашей дипломной работы, главным редактором журнала, в котором пожелаете опубликовать свою статью или отцом будущей невесты. Тогда вторая половина вашей задумки может оказаться под большим вопросом.

Да хоть президент венесуэллы. Я не для кого то стараюсь а для себя. И если буду что то публиковать, то исключительно в интернете.

Yes! Посчитал работу.

Для этого потребовалось

1. Найти экстремумы V(альфа): альфа для минимума и максимума. Углы минимума и максимума объема будут соответствовать крайним точкам, по которым будем делать интегрирование PV-кривых





2. Проинтегрировать верхнюю часть PV-кривой и вычесть интеграл нижней части PV-кривой

Со вторым сложности. В маткаде пришлось резать на куски эту кривую, интерполировать в функцию и уже эти куски функций интегрировать. Но вроде получилось.



При исходных данных



Получается



Вот теперь можно и про реальный газ поговорить, ибо все это до безобразия идеализировано.

Вообще я базировался до поры на этом документе (какая то Теория Шмидта)

stirlingmotors.ru/Theory.htm

Но там уже в самом начале полная туфта. Вот первая же формула расчета моментального объема зоны расширения



Во-первых, Vse/2 это уже жосткий вчес. Во-вторых, косинус еще более жесткий вчес, т.к. получается за цикл оборота по этой формуле объем проходит максимумы и минимумы два раза. Пришлось разрабатывать свои формулы. Но кое что полезное там есть конечно.